2024年北方工业大学非全日制研究生招生考试《数学分析》考试大纲
一、考试性质与范围
数学分析是高等学校数学类专业的基础课程，由分析基础、一元微分学和积分学、级数、多元微分学和积分学等部分组成。考试范围包括极限、一元和多元函数的微积分、级数、实数完备性理论等。
二、考试基本要求
要求考生比较系统地理解和掌握数学分析的基本概念和基础理论，要求考生具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力， 熟悉各种计算和证明方法，能综合运用所学知识分析和解决问题。
三、考试形式与分值
1. 闭卷，笔试;
2. 满分为 150 分，考试时长为 3 小时;
3. 题型为填空题、计算题、证明题等。
四、考试内容
1.分析基础
(1) 实数集与函数：实数的概念和性质，确界的概念、确界原理，函数的定义、函数的表示法;
(2) 数列极限：数列极限定义、性质和计算，数列极限存在的条件;
(3) 函数极限：函数极限的概念和性质，函数极限存在条件，两个重要极限，无穷小量与无穷大量;
(4) 函数连续性：函数连续的定义，连续函数的性质，一致连续性;
(5) 实数完备性基本定理的证明和应用。
2.一元函数微分理论
(1) 导数与微分：导数的概念，导数的几何意义，求导法则，微分的定义、微分的运算法则，高阶导数与高阶微分;
(2) 微分学基本定理：中值定理，泰勒公式;
(3) 应用导数研究函数的单调性与极值、凹凸性与拐点。
3.一元函数积分理论
(1) 不定积分：不定积分的概念，换元积分法和分部积分法;
(2) 定积分：定积分的概念，函数的可积性条件，微积分基本定理，定积分的几何应用和物理应用;
(3) 反常积分：无穷积分收敛和发散的概念，瑕积分收敛和发散的概念，反常积分收敛判别法。
4.级数理论
(1) 数项级数：级数的敛散性，正项级数收敛判别法，一般项级数收敛判别法;
(2) 函数项级数：一致收敛的概念，一致收敛判别法，一致收敛的函数列与函数项级数的性质;
(3) 幂级数：收敛半径与收敛区间，函数的幂级数展开;
(4) 函数的傅里叶级数展开。
5.多元函数微分理论
(1) 多元函数极限和连续：平面点集的概念，多元函数极限和连
续性概念，二重极限和累次极限的关系;
(2) 多元函数微分学：全微分的概念，偏导数的概念，连续性与可微性、偏导数与可微性，多元函数微分法及求导公式，方向导数与梯度，多元函数的极值;
(3) 隐函数定理及应用：隐函数的概念，隐函数微分法，隐函数存在定理的几何应用，多元函数的条件极值。
6.多元函数积分理论
(1) 含参量积分：含参量正常积分的概念，含参量反常积分的一致收敛性及判别法，含参量反常积分的性质;
(2) 第一型和第二型曲线积分的概念与计算，二重积分和三重积分的概念与计算，第一型和第二型曲面积分的概念与计算，格林公式及应用，曲线积分与路径的无关性，高斯公式及应用，重积分的应用。
五、参考书目
1. 华东师范大学数学科学学院编，《数学分析》(上、下册)，高等教育出版社，2019 年，第五版;
2. 裴礼文编，《数学分析中的典型问题与方法》，高等教育出版社，2021 年，第三版。
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