2024年电子科技大学非全日制研究生招生考试《线性代数》考试大纲
一、总体要求
对高等代数基本概念把握准确，掌握高等代数课程中的基本理论和基本方法，考查综合运用所 学知识解决问题的能力。
二、内容
1. 矩阵
(1) 理解矩阵的基本概念, 熟悉常见的特殊矩阵;
(2) 理解并且掌握矩阵的加法、数乘、转置、乘法和求逆运算;
(3) 理解逆矩阵的概念、性质及其若干等价刻画, 掌握逆矩阵计算的基本原理;
(4) 理解初等变换与初等矩阵的关系, 掌握消元法求解方程组的方法, 掌握初等变换化矩阵为行简化阶梯型的方法;
(5) 掌握矩阵的常见分块方法.
2. 行列式
(1) 理解行列式的递归定义, 了解行列式定义的几何意义;
(2) 理解行列式的若干基本性质;
(3) 熟练掌握行列式的多种基本计算方法与技巧;
(4) 了解行列式展开的拉普拉斯定理;
(5) 理解伴随矩阵的概念、性质与计算, 理解克兰姆法则求解非齐次线性方程组的基本原理;
(6) 理解矩阵秩的概念及其相关性质, 熟练掌握分块矩阵初等变换证明矩阵秩等式与不等式的方法.
3. n 维向量空间
(1) 掌握数域上 n 维向量空间中的各种基本概念;
(2) 理解向量组的线性组合、线性表出与线性相关性等基本概念、性质与相关定理;
(3) 理解向量组的秩与极大无关组的基本概念;
(4) 理解一般线性方程组解的结构, 熟练掌握线性方程组求解的基本方法.
4. 线性空间
(1) 理解 F-空间的各种基本概念, 如线性运算、维数、基与坐标、基变换与子空间等;
(2) 理解子空间的交、和的基本概念、性质与定理;
(3) 理解两个子空间直和的概念, 掌握两个子空间做成直和的若干等价刻画,了解多个子空间直和的概念与刻画;
(4) 理解线性空间同构的概念与性质.
5. 线性变换
(1) 理解线性映射、线性变换的概念, 性质.
(2) 对给定的线性空间, 理解经由基底线性变换与矩阵的一一对应以及运算上面的对应. 能熟练运用这种对应关系来转化问题.
(3) 理解线性变换的特征值, 特征向量; 矩阵的特征值, 特征向量. 理解二者之间的密切联系. 能熟练的计算特征值和特征向量.
(4) 理解线性变换(矩阵)特征值, 特征向量与矩阵相似对角化的关系, 并能熟练的进行计算.
(5) 理解线性变换的值域和核的概念, 不变子空间的概念及其与矩阵化简的关系.
(6) 理解对偶空间的定义及性质.
6. Jordan 标准形与λ-矩阵
(1) 理解矩阵最小多项式的概念, 与特征多项式和零化多项式的紧密关联, 最小多项式与相似对角化的关系.
(2) 理解幂零与半单线性变换的概念和性质, 掌握中国剩余定理及其计算. (3)了解矩阵的 Jordan-Chevalley 分解, 了解循环不变子空间的概念.
(4) 理解λ-矩阵的概念和性质, 相抵标准形的存在唯一性, 掌握相抵标准形的计算.
(5) 理解λ-矩阵相抵与矩阵相似的关系, 理解矩阵的有理标准形.
(6) 理解初等因子的概念和性质, 理解 Jordan 标准形的结论、计算及其应用.
7. 欧氏空间
(1) 理解欧氏空间的定义及性质, 了解欧氏空间同构的意义和结论, 了解 QR 分解与 LU 分解;
(2) 理解欧氏空间中内积, 长度, 夹角, 在给定基下度量矩阵的概念, 掌握 Cauchy 不等式的证明及其应用;
(3) 理解标准正交基的相关概念和性质, 掌握 Scmidt 正交化方法
(4) 掌握正交变换, 正交矩阵以及标准正交基之间的关系, 并能灵活运用实现问题的转化.
(5) 掌握实对称矩阵正交对角化的理论, 计算以及应用.
8. 二次型与双线性函数
(1) 理解二次型及其矩阵表示, 合同变换与合同矩阵, 二次型的秩等概念
(2) 掌握用配方法化二次型为标准形, 了解惯性定理, 了解标准形和规范形, 掌握二次型及其矩阵的正定性判定与计算.
(3) 掌握用正交替换化二次型为标准形的计算.
(4) 了解双线性函数的定义, 概念及其性质.
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