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2024年湖南师范大学非全日制研究生招生考试《实变函数》考试大纲

  考试内容及要点

  (一)测度论与可测函数部分

  1、n维欧式空间中的点集

  考试内容:开集、闭集的构造、分离定理

  考试要点:

   要求考生熟练掌握开集闭集的概念及其构造定理。

   要求考生理解Cantor集。

   要求考生熟练掌握分离定理。

  2、测度论

  考试内容:ebesgue 外测度,可测集、可测集类

  考试要点:

   测度的定义和性质;

   掌握ebesgue 外测度和测度的定义和基本性质;

   练掌握由卡拉皆屋铎利给出可测集的定义及可测集的基本运算性质。

   掌握零测集的性质;开集、闭集的可测性;

   了解特殊的两类集合,波雷耳集。

  3、可测函数

  考试内容:可测函数及其性质,几乎处处收敛,叶果洛夫定理,可测函数的构造,依测度收敛

  考试要点:

   熟练掌握可测函数及其四则运算,可测函数与简单函数的关系,几乎处处成立的概念;

   理解叶果洛夫定理;

   理解并掌握鲁津定理及其逆定理;

   熟练掌握依测度收敛的定义,几乎处处收敛与依测度收敛的几个反例,Riese定理和ebesgue收敛定理

  (二)ebesgue积分与不定积分部分

  1、ebesgue积分的概念与性质

  考试内容:勒贝格积分的定义,勒贝格积分的性质,一般可积函数,积分的极限定理

  考试要点:

   理解勒贝格积分的定义,掌握可积的两个充要条件;可积的四则运算, 勒贝格积分与Riemann积分的关系;

   熟练掌握勒贝格积分的基本性质和绝对连续性;

   熟练掌握一般可积函数的积分的定义和初等性质。

   牢记勒贝格控制收敛定理,列维定理, 逐项积分定理,积分的可数可加性,Fatou引理及有关积分与求导交换的定理。

  2、微分和不定积分

  考试内容:有界变差函数、绝对连续函数

  考试要点:

   熟练掌握有界变差的定义,理解ebesgue定理;

   充分理解绝对连续函数,并理解绝对连续函数与不定积分的关系。

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