2024年湖南师范大学非全日制研究生招生考试《泛函分析》考试大纲
一、考试内容及要点
1、距离空间和赋范线性空间
【考试内容】
(1)距离空间：距离空间的概念，距离空间中的开集闭集，稠密性与可分性，连续映射的概念，距离空间中的完备性，列紧集，紧集及其上连续映射，具体空间列紧集的判定定理，压缩映射原理及其应用。
(2)赋范线性空间：线性空间、范数、赋范线性空间、Banach空间等概念，赋范线性空间上范数的等价性，常见的具体Banach空间及其常用的范数的定义。
【考试要点】
(1)熟悉距离空间的概念和一些具体的距离空间；理解距离空间中的开集闭集，稠密集与空间的可分性；熟练掌握连续映射的概念、距离空间中的完备性、列紧集和紧集以及其上连续映射的性质；掌握具体空间列紧集的判定法；熟练掌握压缩映射原理，并会用压缩映射原理分析映射的不动点。
(2)理解线性空间、范数、赋范线性空间等概念;掌握Banach空间、线性赋范空间上范数的等价性;熟悉某些常见Banach空间中常用的范数的定义。
2、有界线性算子与连续线性泛函
【考试内容】
有界线性算子和连续线性泛函的概念和其性质，线性算子空间、共轭(对偶)空间，某些常见Banach空间的共轭空间。
【考试要点】
掌握有界线性算子和连续线性泛函的概念和其性质，并会计算界线性算子和连续线性泛函的范数;理解线性算子的连续性和有界性，熟悉算子空间、共轭(对偶)空间的基本性质和某些常见Banach空间的共轭空间。
3、Hilbert空间
【考试内容】
内积空间的基本概念与基本性质、几何特征、正交系、正规正交基、正交化，Hilbert空间的同构，射影定理、Hilbert空间上的Riesz表示定理。
【考试要点】
熟悉内积空间的基本概念与基本性质、几何特征;熟练掌握正交系、正规正交基、正交化、射影定理;理解Hilbert空间的同构、Hilbert空间上的Riesz表示定理。
4、Banach空间的基本定理
【考试内容】
Hahn-Banach延拓定理及其推论，Riesz表示定理及应用，共轭算子及其性质，第一、第二纲的集，纲定理，一致有界定理及应用，开映射定理，闭图象定理，弱收敛和弱*收敛。
【考试要点】
熟练掌握Hahn-Banach延拓定理的推论、Riesz表示定理、一致有界定理及应用、开映射定理、闭图象定理;掌握共轭算子及其性质;理解Hahn-Banach延拓定理、第一、第二纲的集;了解弱收敛和弱*收敛。
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