2024年暨南大学非全日制研究生招生考试《高等代数》考试大纲
本《高等代数》考试大纲适用于暨南大学数学学科各专业(基础数学、计算数学、概率论与数理统计、应用数学、运筹学与控制轮)硕士研究生入学考试。
高等代数是大学数学系本科学生的最基本课程之一，也是大多数理工科专业学生的必修基础课。它的主要内容包括多项式理论、行列式、线性方程组、矩阵理论、二次型理论、线性空间、线性变换、λ- 矩阵、欧氏空间。要求考生熟悉基本概念、掌握基本定理、有较强的运算能力和综合分析解决问题能力。
一、考试的基本要求
要求考生比较系统地理解高等代数的基本概念和基本理论，掌握高等代数的基本思想和方法。要求考生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力和综合运用所学的知识分析 问题和解决问题的能力。
二、考试内容
(一) 多项式
1. 一元多项式的整除、最大公因式、带余除法公式、互素、不可约、因式分解、 重因式、根及重根、多项式函数的概念及判别;
2. 复根存在定理(代数基本定理);
3. 根与系数关系;
4. 一些重要定理的证明，如多项式的整除性质，Eisenstein 判别法，不可约多项式的性质，整系数多项式的因式分解定理等;
5. 运用多项式理论证明有关命题，如与多项式的互素和不可约多项式的性质有关 的问题的证明与应用;
6. 用多项式函数方法证明有关结论。
(二) 行列式
1. n -级排列、对换、n -级排列的逆序及逆序数和奇偶性;
2. n -阶行列式的定义，基本性质及常用计算方法(如三角形法、加边法、降阶法、递推法、按一行或一列展开法、Laplace 展开法、Vandermonde 行列式法);
3. Vandermonde 行列式;
4. 行列式的代数余子式。
(三) 线性方程组
1. 向量组线性相(无)关的判别及相应齐次线性方程组有(无)非零解的相关向 量判别法、行列式判别法;
2. 向量组的极大线性无关组的性质，向量组之间秩的大小关系定理及其三个推论， 向量组的秩的概念及计算，矩阵的行秩、列秩、秩概念及其行列式判别法和计算;
3. Cramer 法则，线性方程组有(无)解的判别定理，齐次线性方程组有(无)非零解的矩阵秩判别法、基础解系的计算和性质、通解的求法;
4. 非齐次线性方程组的解法和解的结构定理。
(四) 矩阵理论
1. 矩阵基本运算、分块矩阵运算及常用分块方法并用于证明与矩阵相关的结论， 如有关矩阵秩的不等式;
2. 初等矩阵、初等变换及其与初等矩阵的关系和应用;
3. 矩阵的逆和矩阵的等价标准形的概念及计算，矩阵可逆的条件及其与矩阵的秩 和初等矩阵的关系，伴随矩阵概念及性质;
4. 行列式乘积定理;
5. 矩阵的转置及相关性质;
6. 一些特殊矩阵的常用性质，如，对角阵、三角阵、三对角阵、对称矩阵、反对 称矩阵、幂等矩阵、幂零矩阵、正交矩阵等;
7. 矩阵的迹、方阵的多项式;
8. 矩阵的常用分解，如等价分解、满秩分解、实可逆矩阵的正交三角分解、约当 分解;
9. 应用矩阵理论解决一些问题。
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