2015在职硕士考试GCT数学备考习题

　　1、某中学从高中7个班中选出12名学生组成校代表队，参加市中学数学应用题竞赛活动，使代表中每班至少有1人参加的选法共有多少种?(462)

　　【思路1】剩下的5个分配到5个班级。c(5,7)

　　剩下的5个分配到4个班级。c(1,7)*c(3,6)

　　剩下的5个分配到3个班级。c(1,7)*c(2,6)+c(2,7)*c(1,5)

　　剩下的5个分配到2个班级。c(1,7)*c(1,6)+c(1,7)*c(1,6)

　　剩下的5个分配到1个班级。c(1,7)

　　所以c(5,7)+c(1,7)*c(3,6)+c(1,7)*c(2,6)+c(2,7)*c(1,5)+c(1,7)*c(1,6)+c(1,7)*c(1,6)+c(1,7)=462

　　【思路2】C(6,11)=462

　　2、在10个信箱中已有5个有信，甲、乙、丙三人各拿一封信，依次随便投入一信箱。求：

　　(1)甲、乙两人都投入空信箱的概率。

　　(2)丙投入空信箱的概率。

　　【思路】

　　(1)A=甲投入空信箱，B=乙投入空信箱，P(AB)=C(1,5)*C(1,4)/(10*10)=1/5

　　(2)C=丙投入空信箱，P(C)=P(C*AB)+P(C* B)+P(C*A )+P(C* )=(5*4*3+5*5*4+5*6*4+5*5*5)/1000=0.385

　　3、设A是3阶矩阵，b1=(1,2,2)的转置阵，b2=(2,-2,1)的转置阵，b3=(-2,-1,2)的转置阵，满足Ab1=b1,Ab2=2b2,Ab3=3b3,求A.

　　【思路】可化简为A(b1,b2,b3)‘= (b1,b2,b3)′

　　求得A=

　　4、已知P(A)=X,P(B)=2X,P(C)=3X且P(AB)=P(BC),求X的最大值。

　　【思路】P(BC)=P(AB)=P(A)=X

　　P(BC)=P(AB)小于等于P(A)=X

　　P(B+C)=P(B)+P(C)-P(BC)大于等于4X

　　又因为P(B+C)小于等于1

　　4X小于等于1，X小于等于1/4

　　所以X最大为1/4

　　5、在1至2000中随机取一个整数，求

　　(1)取到的整数不能被6和8整除的概率

　　(2)取到的整数不能被6或8整除的概率

　　【思路】设A=被6整除，B=被8整除;

　　P(B)=[2000/8]/2000=1/8=0.125;

　　P(A)=[2000/6]/2000=333/2000=0.1665;[2000/x]代表2000/x的整数部分;

　　(1)求1-P(AB);AB为A 、B的最小公倍数;

　　P(AB)=[2000/24]/2000=83/2000=0.0415;答案为1-0.0415=0.9585

　　(2)求1-P(A+B);P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.25;答案为1-0.25=0.75.

　　6、任意将10本书放在书架上，其中有两套书，一套3卷，一套4卷，求两套各自放在一起，还按卷次顺排好的概率。

　　【思路】将两套书看作两本书，加上另外3本，共有5本，有5!中;

　　两套书每一套有两种排法(按卷次顺排好有123和321，1234和4321)，

　　所以答案是(5!*2*2)/10!

　　7、袋中有20个球，其中5个红球，15个白球，每次从中取出5个球，最后不放回，求第三次取出的5个球中有红球的概率。(答案0.628)

　　【思路】设A为有红球，Bi为前2次取出红球有i个(i=0,1,2,…，5)个，

　　则剩下10个球中有对应有5-i个红球。

　　P(Bi)=C(5,i)C(15,10-i)/C(20,10);

　　P(A/Bi)=1-C(10-(5-i),5)/C(10,5)=1-C(5+i,5)/c(10,5);

　　P(A)=P(A/Bi)*P(Bi)之和(i=0,1,2,…，5)

　　8、一表面为红色的正方体被分割成1000个同样大小的正方体，现在从中任意取一个小正方体，求恰有两面涂有红色的概率。

　　【思路】正方体有12条棱，每条棱上有8个符合要求;其它则不合要求。

　　答案为12*8/1000=0.096

　　9、从n双型号各不相同的鞋子中任取2r只(2r小于等于n)，求下列事件概率

　　(1)A=没有一双配对

　　(2)B=恰有一双配对

　　【思路】(1)先从N双鞋子中取2r双，在从2r双中每双选1只。

　　前半个是 ，后面是22r,共有 22r

　　(2)2r只中2r-2只不配对，2支配对。先从n双中挑出1双[C =n];在从剩下的(n-1)双中挑出2r-2只不配对，由(1)可知共有 22r-2; B=n 22。